Contenido
Sucesiones como pulsos
Lectura guiada de convergencia con interpretación rotacional.
Capítulo 1 – Fundamentos del giro
Se introducen las nociones básicas de ángulo, circunferencia, velocidad angular y la idea del giro como operador lineal. Este capítulo sienta la base geométrica y física de todo el curso.
1.1 Geometría de la circunferencia
Definición de ángulo en radianes:
$$
\theta = \frac{s}{r}, \qquad s = r\theta
$$
Donde $s$ es la longitud de arco y $r$ el radio. El radian se define como el ángulo subtendido por un arco igual al radio. Este sistema resulta natural en análisis matemático y física.
1.2 Movimiento circular uniforme
Velocidad angular y tangencial:
$$
\omega = \frac{d\theta}{dt}, \qquad v = r\omega
$$
Un cuerpo en MCU mantiene $\omega$ constante. La aceleración centrípeta es:
$$
a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2.
$$
1.3 Giro como operador lineal
El giro puede representarse mediante una matriz de rotación:
$$
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
$$
Este operador lineal preserva distancias y ángulos, siendo fundamental en física y gráficos computacionales.
1.4 Ángulo orientado y medida en radianes
Un ángulo orientado distingue sentido horario y antihorario. La medida en radianes es más natural que los grados para el análisis matemático:
$$
2\pi\,\text{rad} = 360^{\circ}.
$$
1.5 Relación entre frecuencia y periodo
La frecuencia $f$ y el periodo $T$ cumplen:
$$
f = \frac{1}{T}, \qquad \omega = 2\pi f.
$$
Ejemplo: si $T=0.01\,s$, entonces $f=100\,Hz$ y $\omega=200\pi\,\text{rad/s}$.
1.6 Longitud de arco y áreas sectoriales
La longitud de arco de ángulo $\theta$ en una circunferencia de radio $r$ es:
$$
s = r\theta.
$$
El área de un sector circular es:
$$
A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta.
$$
1.7 Aplicaciones físicas inmediatas
1) Velocidad angular de un disco duro.
2) Giro de un satélite alrededor de la Tierra.
3) Movimiento de un electrón en un campo magnético.
En todos los casos, la descripción en términos de $\omega$, $T$ y $R(\theta)$ es esencial.
1.8 Ejercicios
1) Calcula el arco correspondiente a $\theta=\pi/3$ rad en una circunferencia de $r=5$ cm.
2) Una rueda de bicicleta de $r=0.35$ m gira a 120 rpm. Halla $\omega$ y $v$.
3) Verifica que la matriz $R(\theta)$ conserva la norma de un vector $(x,y)$.
Capítulo 2 – Trigonometría y periodicidad
El lenguaje trigonométrico es esencial para describir fenómenos periódicos y oscilatorios.
Este capítulo desarrolla funciones seno y coseno, identidades trigonométricas, ondas y aplicaciones físicas.
2.1 Funciones seno y coseno
Definidas en la circunferencia unitaria:
$$
x=\cos\theta, \quad y=\sin\theta
$$
Estas funciones son periódicas con periodo $2\pi$.
Son la base para la descripción de oscilaciones y ondas.
2.2 Identidades trigonométricas fundamentales
Relaciones básicas:
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,
$$
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
$$
Estas identidades simplifican expresiones y resuelven ecuaciones trigonométricas.
2.3 Funciones periódicas
Una función $f(t)$ es periódica si:
$$
f(t+T) = f(t) \quad \forall t
$$
El periodo $T$ y la frecuencia $f=1/T$ son conceptos clave en la descripción de fenómenos oscilatorios.
2.4 Representación de ondas
Una onda armónica se describe por:
$$
y(t) = A \cos(\omega t + \phi)
$$
Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular y $\phi$ la fase inicial.
2.5 Amplitud, fase y frecuencia
Los tres parámetros fundamentales de una oscilación:
1) Amplitud $A$: máxima desviación.
2) Frecuencia angular $\omega = 2\pi f$.
3) Fase $\phi$: determina el inicio del ciclo.
Estos elementos caracterizan el presente relativo de una oscilación.
2.6 Relaciones pitagóricas y ángulos notables
Valores comunes:
$$
\sin 30^{\circ} = \tfrac{1}{2}, \quad \cos 30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2},
$$
$$
\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \tfrac{\sqrt{2}}{2},
$$
$$
\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^{\circ} = \tfrac{1}{2}.
$$
2.7 Aplicaciones en ondas físicas
Las funciones trigonométricas modelan fenómenos físicos:
1) Movimiento de un resorte.
2) Vibración de una cuerda.
3) Propagación de una onda electromagnética.
Todas se representan con $A,\,\omega,\,\phi$.
2.8 Ejercicios
1) Demuestra la identidad $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ a partir de la circunferencia unitaria.
2) Calcula amplitud, frecuencia y fase de $y(t)=3\cos(4t+\pi/6)$.
3) Identifica el periodo y frecuencia de $f(t)=\sin(5t)$.
4) Representa en la circunferencia unitaria los ángulos de 30°, 45° y 60°.
5) Describe un fenómeno físico cotidiano modelable con ondas.
Capítulo 3 – Sucesiones y series del giro
Herramientas de análisis para estudiar intervalos repetidos, convergencia y descomposición en series.
Este capítulo desarrolla sucesiones, límites, convergencia de series y su aplicación en la representación de señales periódicas.
3.1 Sucesiones como pulsos
Sea una sucesión de eventos temporales $\{t_n\}$.
El intervalo entre pulsos es:
$$
\Delta t_n = t_{n+1} - t_n
$$
y la frecuencia instantánea es:
$$
\omega_n = \frac{2\pi}{\Delta t_n}.
$$
Un régimen cuasi-periódico cumple $\Delta t_n \to T$.
3.2 Límite y estabilidad de intervalos
Decimos que hay estabilidad temporal cuando:
$$
\lim_{n\to\infty} \Delta t_n = T,
\qquad \operatorname{Var}(\Delta t_n) \to 0.
$$
La estabilidad de $\Delta t_n$ suele correlacionar con $H \to H^*$ (coherencia casi constante).
3.3 Series numéricas
Una serie es la suma de términos de una sucesión:
$$
S = \sum_{n=0}^{\infty} a_n.
$$
Ejemplo: serie geométrica
$$
\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}, \qquad |q|<1.
$$
Las series permiten estudiar acumulación de efectos en intervalos repetidos.
3.4 Series de Fourier
Expansión de una señal periódica de periodo $T$:
$$
x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \cos(k\omega t) + b_k \sin(k\omega t)\right),
$$
donde $\omega = \tfrac{2\pi}{T}$.
Esto permite identificar bandas de frecuencia que contribuyen a la coherencia observada.
3.5 Oscilador armónico como serie
El oscilador simple puede interpretarse como combinación de términos senoidales:
$$
x(t)=A\cos(\omega t+\phi) = \tfrac{A}{2}e^{i(\omega t+\phi)} + \tfrac{A}{2}e^{-i(\omega t+\phi)}.
$$
Esta descomposición conecta trigonometría y análisis complejo.
3.6 Mapa discreto y estabilidad
Consideremos una dinámica discreta:
$$
y_{n+1}=f(y_n;\alpha).
$$
En el mapa logístico $y_{n+1}=\alpha y_n(1-y_n)$, un punto fijo $y^*$ es estable si:
$$
|f^{\prime}(y^*)| < 1.
$$
3.7 Coherencia H como funcional
Definimos un indicador de coherencia temporal promediado:
$$
H[\{\theta_k\}] = \frac{1}{T}\int_{t}^{t+T} R(\tau)\, d\tau,
$$
con
$$
R e^{i\Psi} = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{i\theta_k}.
$$
Maximizar $H$ selecciona $\Delta t$ y $\omega$ donde la coherencia es más alta.
3.8 Ejercicios
1) Calcula $\Delta t_n$ para una secuencia de pulsos igualmente espaciados y estima $\omega$.
2) Demuestra la convergencia de la serie geométrica.
3) Representa una señal cuadrada con los primeros 5 términos de su serie de Fourier.
4) Simula el mapa logístico y verifica la condición de estabilidad.
5) Propón un ejemplo de coherencia H en un sistema de tu entorno.
Capítulo 4 – Osciladores armónicos
Se estudian los modelos de osciladores: simple, amortiguado y forzado,
como base fundamental de la física periódica y del análisis del giro.
4.1 Oscilador armónico simple
La ecuación diferencial básica es:
$$
\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0,
\qquad x(t)=A\cos(\omega_0 t+\phi).
$$
Donde $A$ es la amplitud y $\phi$ la fase inicial. Representa vibraciones ideales sin pérdida de energía.
4.2 Oscilador armónico amortiguado
Con resistencia o fricción, el modelo es:
$$
\ddot{x} + 2\zeta\,\omega_0\,\dot{x} + \omega_0^2 x = 0.
$$
Donde $\zeta$ es el coeficiente de amortiguamiento.
Si $0<\zeta<1$ el sistema es subamortiguado (oscilaciones decrecientes).
Si $\zeta=1$, críticamente amortiguado.
Si $\zeta>1$, sobreamortiguado (sin oscilaciones).
4.3 Oscilador forzado
Cuando actúa una fuerza externa periódica $F(t)=F_0\cos(\omega t)$:
$$
\ddot{x} + 2\zeta\,\omega_0\,\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t).
$$
Aquí aparecen fenómenos de **resonancia**: cuando $\omega \approx \omega_0$, la amplitud crece significativamente.
4.4 Energía en el oscilador
La energía total en el oscilador simple es:
$$
E = \tfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \tfrac{1}{2}k x^2.
$$
En el caso ideal ($\zeta=0$) la energía se conserva.
Con amortiguamiento, la energía decae exponencialmente.
4.5 Relación con presentes relativos
Cada oscilación corresponde a un presente relativo con intervalo $\Delta t = T = 2\pi/\omega$.
El parámetro de coherencia $H$ se asocia a la estabilidad de la amplitud.
En sistemas amortiguados, $H$ disminuye progresivamente.
4.6 Analogías físicas y biológicas
Físico: un resorte con masa.
Biológico: ritmos cardíacos y respiratorios que se asemejan a osciladores amortiguados.
Tecnológico: circuitos RLC eléctricos.
Todos estos ejemplos muestran cómo el giro y la periodicidad modelan coherencia en diferentes dominios.
4.7 Ejercicios
1) Calcula la solución de un oscilador con $m=1$, $k=4$, $\zeta=0.1$.
2) Discute el fenómeno de resonancia para un $\omega$ cercano a $\omega_0$.
3) Simula en computadora un oscilador amortiguado y grafica la amplitud vs. tiempo.
4) Relaciona un ciclo biológico (latido cardíaco) con el modelo de oscilador amortiguado.
Capítulo 5 – Mapas discretos y estabilidad
Introducción a sistemas dinámicos discretos: recurrencias, estabilidad de puntos fijos y
ejemplo fundamental con el mapa logístico. Se estudia cómo patrones simples generan complejidad.
5.1 Definición de mapa discreto
Un **mapa discreto** es una regla de evolución:
$$
x_{n+1} = f(x_n)
$$
que actualiza el estado $x_n$ paso a paso.
Ejemplos: poblaciones, modelos económicos, relojes internos.
5.2 Estabilidad de un punto fijo
Sea $x^*$ un punto fijo si $f(x^*)=x^*$.
Es **estable** si pequeñas perturbaciones regresan a $x^*$,
lo cual se cumple si:
$$
\lvert f^{\prime}(x^*) \rvert < 1.
$$
Si $\lvert f^{\prime}(x^*) \rvert > 1$, el punto es inestable.
5.3 El mapa logístico
Modelo clásico de dinámica poblacional:
$$
y_{n+1} = \alpha y_n (1 - y_n)
$$
donde $0 < y_n < 1$ representa la población normalizada y $\alpha$ es el parámetro de control.
Muestra transición de orden a caos al variar $\alpha$.
5.4 Bifurcaciones
En el mapa logístico, al aumentar $\alpha$ se observan bifurcaciones:
1) $1 < \alpha < 3$: punto fijo estable.
2) $3 < \alpha < 3.45$: oscilaciones periódicas.
3) $\alpha > 3.57$: caos determinista.
Ilustra cómo un sistema simple genera comportamientos ricos.
5.5 Estabilidad y coherencia en RUAGAK
Un mapa discreto puede modelar la evolución de intervalos $\Delta t_n$.
La coherencia $H$ se preserva si la actualización cumple:
$$
\lvert f^{\prime}(\Delta t^*) \rvert < 1.
$$
Esto garantiza presentes relativos estables.
Cuando la derivada cruza $\pm 1$, aparecen transiciones metaestables o caóticas.
5.6 Ejemplo computacional
Simulación: tomar $y_0=0.5$, $\alpha=3.2$ en el mapa logístico.
Se observa convergencia hacia un ciclo periódico de 2.
Ejercicio: graficar $y_n$ en función de $n$ y comparar con otros valores de $\alpha$.
5.7 Analogías y aplicaciones
Física: relojes internos discretos.
Biología: poblaciones y ritmos circadianos.
Economía: modelos de crecimiento con límite.
RUAGAK: intervalos fracturados que siguen mapas no lineales.
5.8 Ejercicios
1) Verifica la estabilidad de $y^*=0$ en el mapa logístico.
2) Simula el mapa logístico para $\alpha=2.5$, $3.2$ y $3.7$.
3) Explica el significado de la bifurcación como transición de coherencia.
4) Relaciona la condición $\lvert f^{\prime}(x^*) \rvert < 1$ con la noción de presente relativo estable.
Capítulo 6 – Fase y sincronía
Estudia el concepto de fase $\theta(t)$ en osciladores y cómo poblaciones de sistemas acoplados pueden sincronizarse. Incluye el parámetro de orden global $R$, modelos de Kuramoto, ruido y sincronía parcial.
6.1 Orden global
La sincronización se mide con el parámetro de orden global:
$$
R e^{i\Psi} = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{i\theta_k}, \qquad R\in[0,1].
$$
Cuando $R\to 1$, hay coherencia; cuando $R\to 0$, fase desordenada.
6.2 Dinámica de fases acopladas
Modelo tipo Kuramoto para osciladores acoplados:
$$
\dot{\theta}_i = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_{j=1}^N \sin(\theta_j - \theta_i).
$$
El acoplamiento $K$ regula la transición desde incoherencia a sincronía.
6.3 Umbral de sincronización
Para distribuciones unimodales simétricas de frecuencias $g(\omega)$, el umbral crítico es:
$$
K_c = \frac{2}{\pi g(0)}.
$$
Cuando $K > K_c$, surge sincronía parcial ($R>0$).
6.4 Topología de red
En redes generales con adyacencia $A_{ij}$ y pesos $K_{ij}$:
$$
\dot{\theta}_i = \omega_i + \sum_{j=1}^N K_{ij}A_{ij}\sin(\theta_j-\theta_i).
$$
La estructura de la red condiciona el patrón de sincronía.
6.5 Ruido y sincronía parcial
Con ruido aditivo en cada oscilador:
$$
\dot{\theta}_i = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j \sin(\theta_j - \theta_i) + \sqrt{2D}\,\xi_i(t).
$$
El ruido puede destruir coherencia o inducir sincronía estocástica.
6.6 Medidas complementarias
Aparte de $R$, se usan medidas como el Phase Locking Value (PLV):
$$
\mathrm{PLV} = \left| \frac{1}{T}\int_{t}^{t+T} e^{i(\theta_a(\tau)-\theta_b(\tau))}d\tau \right|.
$$
También se aplica entropía de fase y coherencia espectral.
6.7 Ejemplos de sincronización
Fenómenos de sincronía:
- Luciérnagas que laten al unísono.
- Aplausos colectivos en un auditorio.
- Neuronas que oscilan en fase en bandas específicas.
Todos pueden modelarse con parámetros $R$, $K$ y $\omega$.
6.8 Ejercicios
1) Simula el modelo de Kuramoto para distintos valores de $K$ y grafica $R(K)$.
2) Cambia la distribución $g(\omega)$ y calcula $K_c$.
3) Implementa una red anillo vs. red completa y compara $R(t)$.
4) Añade ruido y estudia la sincronía parcial.
5) Busca un ejemplo cotidiano de sincronización espontánea y descríbelo en términos de $R$ y $K$.
Capítulo 7 – Metaestabilidad y transición
Introduce el concepto de metaestabilidad: estados intermedios que persisten durante cierto tiempo antes de reorganizarse en sincronía estable o en caos. Incluye ejemplos físicos, biológicos y cognitivos, así como la noción de transición crítica.
7.1 Objetivo del capítulo
Presentar herramientas conceptuales y matemáticas para describir fases metaestables en sistemas dinámicos y sus transiciones hacia estados de mayor coherencia o hacia el desorden.
7.2 Definición de metaestabilidad
Sea una secuencia de presentes relativos $PR_n=(\Delta t_n,\,\omega_n,\,H_n)$. El sistema es **metaestable** si mantiene $H_n \approx H^* \pm \epsilon$ durante intervalos finitos antes de reorganizarse a otro régimen.
Formalmente:
$$
\exists\, n_c:\quad H_n \in [H^* - \epsilon, H^* + \epsilon],\ \forall n
7.3 Ejemplo físico: pozo doble con ruido
Modelo de partícula en potencial de pozo doble:
$$
\dot{x} = -\partial_x U(x) + \sqrt{2D}\,\xi(t), \qquad U(x)=a x^4 - b x^2,\ a,b>0.
$$
Para $D$ pequeño, la partícula queda atrapada en un valle; para $D$ moderado, exhibe fases metaestables con saltos ocasionales entre valles.
7.4 Ejemplo biológico: neurona
Modelo leaky integrate-and-fire (LIF):
$$
\tau_m \dot{V} = -(V - V_{\text{rest}}) + I(t).
$$
Cerca del umbral de disparo, $V(t)$ puede oscilar transitoriamente en un régimen metaestable antes de emitir un potencial de acción.
7.5 Ejemplo cognitivo: atención
La atención sostenida puede permanecer en un foco durante unos segundos (estado metaestable) antes de dispersarse o cambiar. Este fenómeno se observa en patrones de oscilación cerebral en bandas alfa y theta.
7.6 Formalización: conjuntos casi-invariantes
En mapas discretos $x_{n+1}=f(x_n)$, llamamos conjunto casi-invariante $S$ a aquel donde la mayoría de órbitas permanece durante tiempo medio elevado antes de escapar.
Definimos el tiempo de salida $n_c$ y su distribución probabilística $P(n_c)$, que presenta colas largas en regímenes metaestables.
7.7 Transición de fases en coherencia H
Una transición metaestable puede describirse como cruce de umbral en $H(t)$:
$$
H(t) \approx H^*,\quad tt_c.
$$
con $|H^{**}-H^*|$ significativo.
Se interpreta como reorganización del sistema hacia un nuevo régimen.
7.8 Ejercicios
1) Simula el modelo de pozo doble con distintos valores de $D$ y mide tiempos de permanencia.
2) Implementa el modelo LIF y muestra un régimen transitorio metaestable.
3) Diseña un criterio para detectar mesetas de $H(t)$ en datos reales.
4) Relaciona la atención sostenida con fases metaestables en el cerebro.
5) Discute cómo la metaestabilidad puede ser útil para sistemas artificiales adaptativos.
Capítulo 8 – Aplicaciones integradoras
Síntesis práctica del curso. Se aplican los conceptos de giro, trigonometría, osciladores, metaestabilidad y sincronía en experimentos caseros y simulaciones computacionales. Se busca unir teoría y práctica en el marco de RUAGAK.
8.1 Objetivo del capítulo
Describir cómo usar herramientas sencillas para observar en la práctica los fenómenos estudiados: giro, oscilación, sincronía y metaestabilidad. Se enfatiza la integración entre física, matemática y experiencia cotidiana.
8.2 Péndulo simple
Construye un péndulo casero con una cuerda y una masa pequeña. Mide su periodo:
$$
T = 2\pi \sqrt{\tfrac{L}{g}}.
$$
Compara el valor experimental con la teoría y discute cómo representa un presente relativo.
8.3 Metrónomos en sincronía
Coloca varios metrónomos sobre una base móvil. Observa cómo, tras cierto tiempo, se sincronizan.
Modelo matemático aproximado:
$$
\dot{\theta}_i = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_{j=1}^N \sin(\theta_j - \theta_i).
$$
Ilustra la emergencia de coherencia colectiva.
8.4 Osciladores digitales
Programa en computadora una señal periódica $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ y varía los parámetros.
Observa cómo cambian el periodo, la fase y la coherencia.
Extiende la simulación a dos osciladores acoplados y estudia sincronía parcial.
8.5 Metaestabilidad observable
Simula el mapa logístico $y_{n+1}=\alpha y_n(1-y_n)$ para valores cercanos a la bifurcación. Identifica fases metaestables: órbitas que parecen estables durante cierto número de iteraciones antes de desviarse.
8.6 Respiración y coherencia
Mide la duración de tus inhalaciones y exhalaciones durante 3 minutos. Representa los intervalos $\Delta t_k$ y calcula una media $T$. Relaciona la regularidad con un indicador de coherencia $H$.
8.7 Aplicaciones en RUAGAK
Conecta los experimentos previos con el marco RUAGAK: el péndulo como PR físico, la respiración como PR biológico, la sincronía de metrónomos como PR colectivo.
Se muestra cómo la matemática del giro ofrece un lenguaje común para todos estos casos.
8.8 Ejercicios
1) Construye un péndulo y registra 10 periodos. Calcula $T$ y compáralo con la fórmula.
2) Simula el modelo de Kuramoto para $N=10$ osciladores y observa cómo evoluciona $R$.
3) Diseña un experimento de respiración guiada y mide $H$.
4) Resume en un esquema cómo los ejemplos prácticos ilustran los capítulos 1–7.